Théorème de Thalès

Le cours résumé

Énoncé du Théorème Le théorème de Thalès est l'un des théorèmes fondamentaux de la géométrie. Il permet de calculer des longueurs dans des configurations où des droites parallèles coupent des droites sécantes. On considère deux droites (d) et (d') sécantes en un point A, et deux droites parallèles (BC) et (MN) qui les coupent. Dans la rédaction d'un exercice, il faut toujours:n1. Énoncer les données (points alignés, droites parallèles)n2. Citer le théorème de Thalèsn3. Écrire les égalités de rapportsn4. Résoudre pour trouver la longueur cherchée Application: Calculer une Longueur Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) parallel (BC).nDonnées: AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm.nnD'après le théorème de Thalès:ndfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC}ndfrac{3}{5} = dfrac{AN}{7}nAN = dfrac{3 times 7}{5} = 4{,}2 cm On peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer n'importe laquelle des six longueurs de la configuration, pourvu qu'on en connaisse suffisamment d'autres. Configuration papillon Dans la configuration papillon, les mêmes propriétés s'appliquent : OA/OA' = OB/OB' = AB/A'B'. Réciproque du Théorème La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Si les points A, M, B sont alignés dans cet ordre,nsi les points A, N, C sont alignés dans cet ordre,net si dfrac{AM}{AB} = dfrac{AN}{AC},nalors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On a AM = 2 cm, AB = 6 cm, AN = 3 cm, AC = 9 cm.nnCalculons les rapports:ndfrac{AM}{AB} = dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3} et dfrac{AN}{AC} = dfrac{3}{9} = dfrac{1}{3}nnLes rapports sont égaux, donc d'après la réciproque de Thalès, (MN) parallel (BC). Attention: pour utiliser la réciproque, il faut impérativement vérifier que les points sont alignés dans le bon ordre.

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