La Divisibilité et les Nombres Premiers
Le cours résumé
Multiples et Diviseurs En arithmétique, on s’intéresse souvent aux multiples et aux diviseurs d’un nombre entier. Cela permet de simplifier des calculs, de travailler sur des fractions, de résoudre des problèmes de partage, etc. Un entier a est un multiple d’un entier b (avec b neq 0) s’il existe un entier k tel que a = b times k. Un entier b est un diviseur (ou un facteur) d’un entier a s’il existe un entier k tel que a = b times k. On dit alors que a est divisible par b. On note parfois b mid a pour dire « b divise a ». Par exemple : 3 mid 21 car 21 = 3 times 7, et 5 mid 35 car 35 = 5 times 7. Propriétés simples: On cherche tous les entiers d tels que 18 = d times k avec k entier. On trouve : 18 = 1 times 18 = 2 times 9 = 3 times 6. Les diviseurs positifs de 18 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Critères de Divisibilité Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on dispose de critères simples basés sur l’écriture décimale. Ils permettent d’éviter une division complète. Critères à connaître absolument: Chiffre des unités: 0 → divisible par 2, par 5 et par 10. Somme des chiffres: 3 + 2 + 4 + 0 = 9, qui est multiple de 3 et de 9 → 3,240 est divisible par 3 et par 9. Deux derniers chiffres: 40, qui est multiple de 4 → divisible par 4. Comme 3,240 est divisible par 2 et par 3, il est aussi divisible par 6. Ne pas confondre les critères de 3 et de 9 : on utilise dans les deux cas la somme des chiffres, mais on vérifie si cette somme est un multiple de 3 ou un multiple de 9. Et pour 6, il faut vérifier à la fois 2 ET 3. Nombres Premiers et Nombres Composés Parmi les entiers naturels, certains n’ont que deux diviseurs positifs (1 et eux-mêmes): ce sont les nombres premiers. Les autres entiers strictement supérieurs à 1 sont dits composés car ils pe