Puissances et Racines Carrées
Le cours résumé
Les Puissances Les puissances sont une notation qui permet d'écrire de manière compacte des produits répétés d'un même nombre. Cette écriture est particulièrement utile pour manipuler de très grands ou très petits nombres, notamment en sciences. Pour tout nombre a et tout entier naturel n geq 2: a^n = underbrace{a times a times ldots times a}{n text{ facteurs}} Le nombre a est appelé la base et n l'exposant. Quelques conventions importantes: Règles de calcul Les puissances obéissent à des règles précises qui permettent de simplifier les calculs. Il est essentiel de les connaître parfaitement. Exposants négatifs Un exposant négatif permet d'exprimer l'inverse d'une puissance. Cette notation est très pratique pour écrire des nombres décimaux très petits. 2^3 times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 (3^2)^3 = 3^{2 times 3} = 3^6 = 729 5^{-2} = dfrac{1}{5^2} = dfrac{1}{25} = 0{,}04 Les Racines Carrées La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré. Elle permet de trouver le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre sous la racine. Pour tout nombre a geq 0, la racine carrée de a, notée sqrt{a}, est l'unique nombre positif dont le carré vaut a: (sqrt{a})^2 = a quad text{et} quad sqrt{a} geq 0 Exemples de carrés parfaits à connaître: sqrt{4} = 2, sqrt{9} = 3, sqrt{16} = 4, sqrt{25} = 5, sqrt{36} = 6, sqrt{49} = 7, sqrt{64} = 8, sqrt{81} = 9, sqrt{100} = 10. Propriétés On n'a PAS: sqrt{a + b} = sqrt{a} + sqrt{b} Contre-exemple: sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5 mais sqrt{9} + sqrt{16} = 3 + 4 = 7 La racine d'une somme n'est pas la somme des racines! Simplification Pour simplifier une racine carrée, on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.