Factorisation et Développement
Le cours résumé
Le Développement Le développement et la factorisation sont deux opérations inverses fondamentales en algèbre. Développer consiste à transformer un produit en une somme, tandis que factoriser consiste à transformer une somme en un produit. Ces techniques sont essentielles pour résoudre des équations et simplifier des expressions. Développer une expression algébrique, c'est transformer un produit en une somme (ou différence) en utilisant la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Simple distributivité La simple distributivité permet de développer un produit où un facteur est un nombre et l'autre une somme. 3(2x + 5) = 3 times 2x + 3 times 5 = 6x + 15 Double distributivité Lorsqu'on multiplie deux sommes, chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. (x + 3)(x - 2) = x times x + x times (-2) + 3 times x + 3 times (-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6 (en réduisant les termes semblables) Les Identités Remarquables Les identités remarquables sont trois formules fondamentales à connaître par cœur. Elles permettent de développer et de factoriser rapidement certaines expressions sans avoir à appliquer la double distributivité. Pour (a+b)^2 et (a-b)^2: carré du 1er + double produit + carré du 2nd Le signe du double produit est le même que celui entre a et b. Pour (a+b)(a-b): seule la différence des carrés reste, car +ab et -ab s'annulent. On identifie a = 3x et b = 2: (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 times 3x times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4 La Factorisation Factoriser est l'opération inverse du développement. C'est une technique essentielle, notamment pour résoudre des équations produit nul. Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.